[教程经验] 分享：中型机的速度斜坡-计算加减速时间和距离

一、简介

中型机的速度斜坡有四种方式：梯形、sin²、二次方、二次方平滑。加减速过程与设定加速度、设定加加速度参数有关，参数不同从而影响加减速性能。

微分和积分是互为反向的过程，此次建模的主要过程就是根据确定速度函数的幂和类型，根据最低次幂的函数和设定值积分还原速度函数表达式。

1.梯形

设定加速度有效，设定加加速度无效。

速度：V(t)=V0+V'(t)*t;

加速度:V'(t)=AccSet;

加加速度：V''(t)=0;

加速度恒定为设定值，加加速度恒等于0，速度以设定加速度值为斜率变化。

2.sin²

设定加速度有效，设定加加速度无效但不为0。

速度：V(t)=V0+Asin²(Bt)

加速度：V'(t)=ABsin(2Bt)

加加速度：V''(t)=2AB²cos(2Bt)

加速度V'(t)函数恒定，加加速度V''(t)是加速度V'(t)的导函数，即设定加加速度值不生效但为其导函数，可根据当前速度和设定速度求出常数A=(V0-Vset)/2，再根据设定加速度值A*B=AccSeet求出B

3.二次方

设定加速度有效，设定加加速度有效。

速度：V(t)=Ax²+B

加速度：V'(t)=2Ax

加加速度：V''(t)=2A

加加速度V''(t)为设定值JerkSet，根据加速度的方向变化为V''(t)=±JerkSet，加速度V'(t)以加加速度V''(t)为斜率进行变化。

需要注意的是，二次方为中心对称速度曲线，按照加速度曲线来看也就是分段对称曲线，加速度变化范围0->JerkSet，JerkSet->0。

4.二次方平滑

仿真时推算二次方平滑为六阶高次多项式的分段对称函数，是的六阶，求了五次导函数才为直线，过于复杂且不常用，本人放弃推算。
三、加减速的计算和验证

1.梯形

梯形的加减速时间最为简单，速度按照设定加速度值进行变化，即时间=速度的变化值/设定加速度。
梯形的加减速距离，按照速度曲线计算为直角梯形的面积，面积在几何意义上时则为积分，即速度积分=距离。

时间：Acctime= (Vset-V0)/AccSet;

距离：AccPos = (Vset+V0)*Acctime/2;

验证结果如图：

2.sin²

sin²函数其实可看作为cosx，高中数学的三角函数转换，sin²x=(1-cos2x)/2，简化来看就是cosx，cosx=sin(x+Π/2)，整体来看其实就是sinx的函数。

速度V(t)=Asin²(Bt);

加速度V'(t)=ABsin(2Bt);

加加速度V''(t)=2AB²cos(2Bt);

可根据当前速度V0和目标速度Vset算出，A=(Vset-V0)/2，再根据AB=AccSet算出B，即可算出全部表达式，加加速度表达式与设定加加速度值无关。

加速过程中各个函数均对称，即加速过程为正弦函数的半个周期，即加速时间为半个周期，根据高中数学的三角函数周期可知，周期T=2Π/B。加速过程中走过的距离为此区间内的速度的面积，中心对称的正限面积为梯形的面积。

时间：Acctime= T / 2 = 2Π / B / 2;

距离：AccPos = (Vset+V0)*Acctime/2;

验证结果如图：

3.二次方

二次方简单说就是速度Ax²，加速度Ax，加加速度A(常数)。但是同时，二次方相对计算较为繁琐，繁琐的地方在于设定加速度值过大，或者设定加速度过小。

①设定加速度值过大，实际加速过程可能会无法到达，所以存在理论计算的最大加速度。举例设定速度为1，设定加速度1000，设定加加速度1000，若加速度从0增加至1000会导致速度超过设定速度1，所以加速度设定不合理会出现无法到达的情况。

②设定加速度值过大，实际加速度到达后，加速度无法继续增大而出现的加速度恒定，即匀加速段。举例设定速度为100，设定加速度1，设定加加速度1，加速度从0增大至1后保持恒定，中间出现匀加速段。

速度：V(t)=Ax²+B

加速度：V'(t)=2Ax

加加速度：V''(t)=2A

二次方表达式简单，但是分类较多，计算结果如下：

(1)设定加速度值可到达，无匀加速段：速度10，加速度100，加加速度1000

(2)设定加速度值不可到达：速度10，加速度4000(实际加速度值300)，加加速度1000

(3)设定加速度到达，存在匀速段：速度100，加速度200，加加速度500

4.二次方平滑

不讨论，但是还是展示下其各阶导函数的曲线，我个人表示看呆了，六阶高次多项式。

四、总结

速度斜坡的加减速时间、距离的计算过程其实就是利用加速度函数进行面积计算，只要算出了加速度的实际值，不用计算函数表达式就可以计算出时间和距离。因为速度函数对称，几何的积分为面积，所以较多的积分运算可用梯形或三角形面积计算公式替代，所以也算是取巧的计算。

其中二次方的计算涉及到匀加速段和加速值无法到达设定值的情况，所以理论加减速时间可能出现失控情况。如果对加速时间有较高的要求，可采取边界情况，即加速度和加加速度的设定保证无匀速段、刚好能够到达设定速度，那就需要将加速时间代入函数中，反算加速度和加加速度值。反算加速度和加加速度在之前有讲过，

AccSet=Vset/(Acctime/2)=2Vset/Acctime，j=AccSet/(Acctime/2)=4v/Acctime²

这方面感兴趣的可以去看一下我之前的帖子《分享：梯形、二次方速度曲线的加减速时间计算》。